例谈数学思想方法在数列中的应用

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，一直备受高考命题者的青睐。对于很多学生来说，数列是难点内容。本文探究如何利用数学思想方法解决数列问题。

1．函数的思想方法

   我们可以把数列看成以正整数集（或它的有限子集{1,2，……，n})为定义域的特殊函数,这样对于很多数列问题，我们可以转化成函数问题，利用函数的概念、图象和性质求解，使得解题过程变得非常有效和快捷。

例1.设数列满足：，求的前n项和及使得最大的序号n的值。

分析:从数列的通项公式可以看出，为等差数列，其前n项和，，我们可以把看作关于n一元二次函数，利用函数的图象来求解。

解：由知：.

则

我们可以把看作关于n的一元二次函数，,则根据函数的图象可知：当n=5时，最大.

例2.设函数（0<x<1),数列满足：.

判断数列的单调性.

分析：这是一道判断数列单调性的题目，如果我们通过的符号来判断数列的单调性，将非常困难。如果我们把看作n的函数，将比较简便.

解：由，得.

则.

又由函数的定义域知：，则，.

我们可以把看作关于n的函数.令，

则，在R上是单调递增函数.

同理 由知：是单调递增数列.

2．方程的思想方法

   在等差或等比数列的通项公式和前n项和公式中共有5个量、d(或q)、n、及，这5个量中知道其中任意三个量的值，就可以应用方程的思想，解方程求出另外两个量的值.在数列解题中，我们同样可以利用方程的思想，把数列问题变成方程问题，达到化难为易的目的。

例3 设，d 为实数，首项为，公差为d的等差数列的前n项和为，满足.求d的取值范围.

  解：由得：（5+d)(6+15d)+15=0,

      即，把上述等式看作关于以为自变量的一元二次方程，由于，d 为实数，则

即，故或.

即d的取值范围为

3．分类讨论的思想方法

    在等比数列求和中经常对公比q=1和进行分类.在数列中已知前n项和的表达式，求的表达式时，要按n=1和分类讨论.有的数列的通项公式是以分段函数的形式给出的，或以形式给出的，也要分类求解。

例4 已知数列的前n项和为,且.数列满足.且.

（1）求数列，的通项公式；

（2）设是否存在，使得成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

分析：在第一问中，求数列的通项公式，要按照n=1和进行分类，在第二问中，的通项公式，要按n是奇数和偶数进行讨论。解：⑴当时，．

当时， ．

而当时，

∴

又即，

∴是等差数列，又，，解得．

∴．                                 

（2）

i)当为奇数时，为偶数，

        ∴，．

ii)当为偶数时，为奇数，

  ∴，（舍去）．

综上，存在唯一正整数，使得成立． 

4． 转化、化归的思想方法

   在很多数列的题目中，往往给出的是递推数列，我们往往需要把它们转化成基本数列即等差等比数列来求解.

例5.已知数列 满足：，，求数列的通项公式.

分析：如果这个题目我们直接求解，将非常困难，无从下手。如果我们使用转化、化归的思想方法把它转化成等差数列求解，将大大降低难度。

   解：对等式两边取倒数得：，

       即，故是1为首项，以为公差的等差数列，

      由等差数列的通项公式得：

      即.

   总之，解题要善于应用和总结数学基本思想和基本方法，使得很多数学问题变得简单，有趣，有捷径可循，提高学生的学习兴趣，养成良好的学习习惯，达到事半功倍的效果。