一道函数零点习题的思考——数形结合
内容摘要：函数零点可以转化为求方程的根，也可以转化为函数图像与
轴的交点的横坐标，本文结合例子说明函数零点的求法可转化为图象与图象的交点来讨论。
关键词：函数零点 方程的根 图象与图象的交点
随着新课程的不断展开和深入，许多高等数学中的许多概念也随之融入高中数学课程，函数的零点即为其中之一．由于函数零点由于涉及到化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等重要的数学思想方法，加之与导数的应用一唱一和，因此自然成为命题者眼中难以割舍的命题源泉[1,2,3]．
函数的零点把函数和方程紧密地联系在一起，是函数的一个重要特性，在分析解题思路、探求解题方法中发挥着重要作用，有些看似复杂的问题，借助零点都能迎刃而解。从函数的角度来看，零点就是使函数值为零的实数；从方程的角度来看，零点就是方程
的实数根；从函数的图象来看，零点就是函数
的图象与
轴交点的横坐标。本文结合例子说明函数零点的求法可转化为图象与图象的交点来讨论[1,5]。
例： 已知函数
在（0,1）上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围[2]。
（一） 对于二次函数
零点的判断，可根据判别式
.但已知条件给出的函数不一定是二次函数，另外还要注意条件“在（0,1）上有且仅有一个零点”该如何使用。
解：由题意得，方程
在(0,1)内有且仅有一个根。
（1） 当
时，
，解得
(0,1)，符合题意。
（2） 当
时，以下分两种情况：
① 若方程
(*)有两个相等的实数根，
即
将
代入方程（*）中，可得
，符合题意
② 若方程(*)有两个不相等的实数根，要使在区间(0,1)上有且仅有一个实数根，结合二次函数的图象可得
综上所述，所求实数
的取值范围为
或
（二） 函数零点可以转化为图象与图象的交点来求。分离参数a，函数
为常值函数。
解：由题意得，方程在(0,1)内有且仅有一个根。
分离参数a，得
令 
即求函数
和函数
的图象在区间
内有且仅有一个交点的情况,
的对称轴是
，顶点坐标
，
，要保证
和函数在
有且仅有一个交点，分两种情况，
（1）的图象和函数的图象相切于
的顶点，，此时
。如下图所示，
（1）的图象和函数的图象相交，如下图所示，此时需
，即
综上所述，或。
（三） 函数零点可以转化为图象与图象的交点来求。考察函数
与函数
的图像在(0,1)内的交点情况，
解：要使 在（0,1）上有且仅有一个零点，可以考察函数与函数图像(0,1)的交点情况，
（1）考虑函数与函数图像在(0,1)内的相交，要满足在(0,1)内有且仅有一个根，只需满足
，解得：a>-2.
如下图三种情况，
（2）考虑函数与函数图像在(0,1)的相切情况，令
=
=0，满足
将代入上述方程中，可得
符合题意
综上所述，或。
（四）函数零点可以转化为图象与图象的交点来求。考察函数与函数
图像在区间(0,1)的交点情况。
解：要使 在（0,1）上有且仅有一个零点，可以考察函数与函数图像在区间(0,1)内的交点情况，
（1）a>0时，要保证与函数图像在区间(0,1)有且仅有一个交点，因为
，结合图像可知，只需
，解得a>-2,所以a>0.
(2)a=0时，
与的交点为
,
在区间(0,1)上，所以a=0符合条件。
（3）a<0时，要保证与函数图像在区间(0,1)有且仅有一个交点，
因为抛物线开口向下，，所以图像有两种情况，
①，
与
有两个交点，但在（0,1）内只有一个交点，即 ，解得a>-2，所以-2 <a<0.
②与函数的图像相切，即
将代入上述方程中，可得
，符合题意
综上所述，或。
参考文献
[1]赵大藏，《有关函数零点的几种题型及其解法》，教学实践，2011.3，96-97。
[2]孙红，《有关函数零点判定的几种常用方法》，数理化解题研究，2010.10，19-21。
[3]王付光，《谈方程根与函数零点的另一种解法》，教学文化，2010.11，44。
[4]邓亚妮，《浅谈函数零点的求解与应用》，中学数学，2008.5，13-14。
[5]刘显伟藏，《函数零点问题的常用解题策略浅谈》，数学.专题突破，2011.3，42-43。
