浙江省温州市“十五校联合体高二下学期期末联考数学试题
2016学年第二学期温州十五校联合体期末联考
高二年级数学学科试题
一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.在复平面内，复数
（
是虚数单位）所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知焦点在
轴上的椭圆
的离心率为
，则
（ ）
A． 6 B．
C．4 D． 2
4.某几何体的三视图如图所示（单位：
），则该几何体的表面积是（ ）
A．
B．
C. 
D．5
5.已知
，则实数
的值为（ ）
A． 15 B．20 C. 40 D．60
6.已知直线
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
7.已知
是等差数列，其公差为非零常数
，前
项和为
，设数列
的前项和为
，当且仅当
时，
有最大值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C. 
D．
8. 
满足约束条件
，若
取得最大值的最优解不唯一，则实数
的值为（ ）
A．
或
B．2或
C. 2或1 D．2或-1
9.已知函数
（
为常数，
，
）在
处取得最小值，则函数
是（ ）
A．偶函数且它的图像关于点
对称
B．奇函数且它的图像关于点对称
C. 奇函数且它的图像关于点
对称
D．偶函数且它的图像关于点对称
10.已知
且
，
，
，则
的最小值为（ ）
A． 5 B． 10 C.15 D．20
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分，将答案填在答题纸上）
11. 
中，内角
所对的边分别为
，且
，则
的大小为 ．
12.过点
且斜率为1的直线
与双曲线
的两渐近线交于点
，且
，则直线
的方程为 ；如果双曲线的焦距为
，则
的值为 ．
13.王先生家住
小区，他工作在
科技园区，从家开车到公司上班路上有
两条路线（如图），
路线上有
三个路口，各路口遇到红灯的概率均为
；
路线上有
两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为
，若走
路线，王先生最多遇到1次红灯的概率为 ；若走路线，王先生遇到红灯次数
的数学期望为 ．
14.用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1,3不相邻，数字2,5相邻，则这样的五位数的个数是 ．（用数字作答）
15.已知坐标平面上的凸四边形
满足
，
，则凸四边形的面积为 ；
的取值范围是 ．
16.函数
的对称中心为 ，如果函数
的图像经过四个象限，则实数
的取值范围是 ．
17.在正四面体
中，点
是棱
的中点，点
是线段
上一动点，且
，设异面直线
与
所成角为
，当
时，则
的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18. 已知函数
的周期为
.
（1）求
的值；
（2）求函数
在
上的值域.
19. 已知菱形
中，对角线
与
相交于一点
，
，将
沿着
折起得
，连接
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）若点
在平面
上的投影恰好是
的重心，求直线
与底面
所成角的正弦值.
20. 已知函数
.
（1）求函数
的最小值；
（2）如果不等式
在区间
上恒成立，求
的最大值.
21. 如图，已知抛物线
，直线
与抛物线
相交于
两点，且当倾斜角为
的直线
经过抛物线
的焦点
时，有
.
（1） 求抛物线
的方程；
（2）已知圆
，是否存在倾斜角不为
的直线
，使得线段
被圆
截成三等分？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由.
22.已知数列
，
满足
，
，且
，
.
（1）求
及
；
（2）猜想，的通项公式，并证明你的结论；
（3）证明：对所有的
，
.
试卷答案
一、选择题
1-5: ABCCD 6-10:ACDBA
二、填空题
11. 
12. 
13. 
14. 24 15. 
16. 
17. 
三、解答题
18.（1）因为
，
且函数
的最小正周期为
，故
；
（2）因为
，当
时，有
，
故函数在
上的值域为
.
19.（1）因为
，
，
，所以
平面
，又因为
平面
，所以平面
平面
；
（2）方法一：设
在平面上的投影为
，即
平面，
过点
作
交
于点
，过点
作
于点
，
连结
，并过
作
于点
，
因为
平面
，即
，且有
，
，所以
平面
，即
，
又因为
，且
，故
平面
，
从而知
是
与底面
所成的角，
设
，则在
中有
，
，所以
，故
与底面
所成角的正弦值为
，即
与底面
所成角的正弦值为.
（2）方法二：如图建系
，
令
，则知
，
，
，
，
即
，平面
的法向量为
，
故
与底面所成角的正弦值为.
20.（1）函数的定义域为
，因为
，所以当
时，
，函数
单调递减；当
时，
，函数
单调递增.
因此，函数的最小值为
.
（2）不等式
在区间
上恒成立等价于
，令
，则
，由于
时，
，函数单调递增且
，所以函数有且只有一个零点
，因为
，
，所以
，因此，当
时，
，
；当
时，
，
，从而函数
在
，
上分别是减函数、增函数，
因此
，
所以，由得
，因此
，且
，所以
.
21.（1）当倾斜角为
的直线
经过抛物线
的焦点
时，直线
的方程为
，
∵联立方程组
，即
，
∴
，即
，∴抛物线
的方程是
；
（2）假设存在直线
，使得线段
被圆
截成三等分，令直线
交圆为
，设直线
的方程为
，
，由题意知：线段
与线段
的中点重合且有
，联立方程组
，即
，
∴
，
，
，
∴线段
中点的坐标为
，即线段
的中点为，
∴
，即
，
又∵
，
，
∴
，即
，∴
，
，
故直线
的方程为
.
22.（1）因为
，
，且
，
令
，得到
解得
，
；同理令
分别解得由此可得
，
，
，
；
（2）证明：猜测
，
，
用数学归纳法证明：①当
时，由上可得结论成立.
②假设当
时，结论成立，即
，
，
那么当
时，
，
，所以当
时，结论也成立.
由①②，可知，对一切正整数都成立.
（3）由（2）知，
，
于是所证明的不等式即为
（ⅰ）先证明：
因为
，所以
，从而
，
即
，所以
（ⅱ）再证明
设函数
，
，则
，.
因为在区间
上为增函数，
所以当时，
，
从而在区间上为单调递减函数，
因此
对于一切都成立，因为当
时，
，
所以
综上所述，对所有的，均有
成立.
